Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 11 tập 1 của toan11.edu.vn. Ở đây, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho tất cả các bài tập trong SGK, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong học tập.
Mục 2 của SGK Toán 11 tập 1 thường tập trung vào các kiến thức cơ bản và quan trọng của chương trình. Việc giải bài tập đầy đủ và chính xác sẽ giúp các em củng cố lý thuyết và rèn luyện kỹ năng giải toán.
a) Từ định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \), hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \). b) Từ định nghĩa của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha \), hãy tính \(\tan \alpha .\cot \alpha \).
a) Từ định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \), hãy tính \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \).
b) Từ định nghĩa của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha \), hãy tính \(\tan \alpha .\cot \alpha \).
Phương pháp giải:
Lời giải chi tiết:
Cường độ ánh sáng I đi xuyên qua một màn lọc ánh sáng được tính bởi công thức \(I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\), trong đó Im là cường độ ánh sáng đã chiếu lên màn lọc ánh sáng và là góc \(\alpha \) như trong Hình 1.21 (nguồn: http://www.vedantu.com/iit-jee/malus-law). Chứng minh rằng: \(I = {I_m}{\cos ^2}\alpha \).
Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = {I_m}\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}} \right) = {I_m}.\left( {1 - \frac{1}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}} \right)\\ = {I_m}.\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = {I_m}.{\cos ^2}\alpha \end{array}\)
a) Dựa vào Hình 1.22, hãy so sánh \(\cos \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\); \(\sin \left( { - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( { - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.22, ta thấy:
\(\cos \left( { - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha \right)\)
\(\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \left( \alpha \right)\)
b)
\(\begin{array}{l}\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( { - \alpha } \right)}}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \cot \alpha \end{array}\)
a) Dựa vào Hình 1.23, hãy so sánh \(\sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\); \(\cos \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\pi - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.23, ta thấy:
\(\sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha \right)\)
\(\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \left( \alpha \right)\)
b) \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\pi - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = - \tan \alpha \)
\(\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\pi - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{ - \tan \alpha }} = - \cot \alpha \)
a) Dựa vào Hình 1.24, hãy so sánh \(\sin \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\alpha + \pi } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.24, ta thấy:
\(\sin \left( {\alpha + \pi } \right) = - \sin \alpha \)
\({\rm{cos}}\left( {\alpha + \pi } \right) = - \cos \alpha \)
b) \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = \tan \alpha \)
\(\cot \left( {\alpha + \pi } \right) = \frac{{\cos \left( {\alpha + \pi } \right)}}{{\sin \left( {\alpha + \pi } \right)}} = \frac{{ - \cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = \cot \alpha \)
a) Dựa vào Hình 1.25, hãy so sánh \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha \right)\).
b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha \right)\); \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
a) Quan sát hình vẽ.
b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.
Lời giải chi tiết:
a) Dựa vào Hình 1.25, ta thấy:
\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha \right)\)
\({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha \right)\)
b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cot \alpha \)
\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha \)
Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc \(\alpha \):
\(B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)\)
Phương pháp giải:
Áp dụng các hệ thức giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}B = {\sin ^2}\left( {\alpha + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow B = {\left( { - \sin \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha + \cos \alpha - \cos \alpha \\ \Leftrightarrow B = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow B = 1\end{array}\)
Vậy B không phụ thuộc \(\alpha \).
Mục 2 trong SGK Toán 11 tập 1 thường bao gồm các nội dung về phép biến hình, bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm. Việc nắm vững các tính chất và ứng dụng của các phép biến hình này là nền tảng quan trọng cho các kiến thức toán học ở các lớp trên.
Phép tịnh tiến là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Để thực hiện một phép tịnh tiến, ta cần xác định vectơ tịnh tiến. Công thức biến đổi tọa độ của điểm M(x; y) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (a; b) là M'(x + a; y + b).
Phép quay là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ và góc giữa hai đường thẳng bất kỳ. Để thực hiện một phép quay, ta cần xác định tâm quay O và góc quay α.
Công thức biến đổi tọa độ của điểm M(x; y) qua phép quay tâm O(0; 0) góc α là:
Phép đối xứng trục là phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm đối xứng của nó qua một trục cho trước. Trục đối xứng thường là trục Ox, Oy hoặc một đường thẳng bất kỳ.
Công thức biến đổi tọa độ của điểm M(x; y) qua phép đối xứng trục Ox là M'(x; -y). Qua phép đối xứng trục Oy là M'(-x; y).
Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm đối xứng của nó qua một tâm cho trước.
Công thức biến đổi tọa độ của điểm M(x; y) qua phép đối xứng tâm O(a; b) là M'(2a - x; 2b - y).
Bài 1: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; 4), C(5; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (2; -1).
Giải:
Bài 2: Cho điểm M(2; 1). Tìm tọa độ điểm M' là ảnh của M qua phép quay tâm O(0; 0) góc 90 độ.
Giải:
x' = 2*cos(90°) - 1*sin(90°) = -1
y' = 2*sin(90°) + 1*cos(90°) = 2
Vậy M'(-1; 2).
Để học tốt và giải bài tập về phép biến hình, các em cần:
toan11.edu.vn hy vọng với những kiến thức và lời giải chi tiết trên, các em sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải bài tập Toán 11 tập 1. Chúc các em học tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
