Giải mục 2 trang 3, 4, 5, 6, 7 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

a) Trên một đường tròn, cung nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu radian? Góc ở tâm chắn cung nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu radian?

b) Từ đó tìm mối liên hệ giữa đơn vị độ và đơn vị radian.

Phương pháp giải:

- Theo lý thuyết, cung có độ dài bằng r (bán kính) là cung có số đo 1 rad.

\( \Rightarrow \) Cung có độ dài \(l\) thì có số đo là \(\frac{l}{r}\) rad.

- Cung nửa đường tròn có độ dài là \(\pi r\).

- Theo lý thuyết, góc ở tâm chắn cung có số đo 1 rad là góc có số đo 1 rad.

\( \Rightarrow \)Góc ở tâm chắn cung có số đo \(\alpha \) rad là góc có số đo \(\alpha \) rad.

Lời giải chi tiết:

a) Nửa đường tròn có độ dài là \(\pi r\)\( \Rightarrow \) Cung nửa đường tròn có số đo là \(\frac{{\pi r}}{r} = \pi \) rad.

Do đó góc ở tâm chắn nửa đường tròn có số đo là \(\pi \) rad.

b) Nửa đường tròn có số đo là \(\pi \) rad

Mà số đo nửa đường tròn còn bằng 180⁰

\( \Rightarrow \)\({180^0} = \pi \) rad

\( \Rightarrow {1^0} = \frac{\pi }{{180}}\) rad; 1 rad \( = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\).

Đổi 5 rad và \(\frac{\pi }{8}\) rad ra độ.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(\alpha \)rad = \({\left( {\alpha .\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\)

Lời giải chi tiết:

5 rad = \({\left( {5.\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {\left( {\frac{{900}}{\pi }} \right)^0}\)

\(\frac{\pi }{8}\) rad = \({\left( {\frac{\pi }{8}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = 22,{5^0}\)

Trên đường tròn bán kính r, hãy tính:

a) Độ dài của cung nửa đường tròn;

b) Độ dài của cung có số đo \(\alpha \) rad.

Phương pháp giải:

Công thức tính độ dài cung là: \(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}\), trong đó \({n^0}\) là số đo cung cần tìm.

Áp dụng công thức: \(\alpha \)rad = \({\left( {\alpha .\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\)

Lời giải chi tiết:

a) Cung nửa đường tròn có số đo là 180⁰

Độ dài của cung nửa đường tròn là \(l = \frac{{\pi r180}}{{180}} = \pi r\).

b) \(\alpha \)rad = \({\left( {\alpha .\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\)

\(l = \frac{{\pi r}}{{180}}.\frac{{180\alpha }}{\pi } = \alpha r\).

Một bức tường của một ngôi nhà có dạng như Hình 1.7, trong đó cung AB là một cung của đường tròn tâm C, bán kính AC. Tính chu vi của bức tường.

Phương pháp giải:

- Chu vi bức tường gồm phần độ dài cung , AH, BK và HK.

- Áp dụng công thức: Trên đường tròn có bán kính \(r\), cung có số đo \(\alpha \) rad có độ dài \(l = \alpha r\).

- Định lý Py – ta – go cho tam giác vuông: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm H, K như trên hình

AB = 18m \( \Rightarrow \)HK = 18m \( \Rightarrow \)CK = 9m

\(\Rightarrow BC = \sqrt {B{K^2} + C{K^2}} = \sqrt {{5^2} + {9^2}} = \sqrt {106} \Rightarrow r = \sqrt {106} \) (m)

Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{BK}}{{CK}} = \frac{5}{9}\) \( \Rightarrow \alpha \approx 0,507 rad\)

\(\theta = \pi - 2\alpha = \pi - 2.0,507 \approx 2,128 rad\)

\( \Rightarrow \) Cung AB có độ dài là: \(l = \theta r = 2,128.\sqrt {106} \approx 21,91\)(m) 

Vậy chu vi bức tường là: 21,91+5+5+18=49,91 (m)

Hãy xác định số đo của mỗi cung lượng giác (A đến B) khi điểm M di động trên đường tròn từ A đến B trong Hình 1.1.

Phương pháp giải:

- Khi điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương từ A đến B tạo nên cung \(\frac{1}{4}\) đường tròn nên có số đo là \(\frac{\pi }{2}\). M đi tiếp mỗi vòng thì thêm \(2\pi \).

- Khi điểm M di động trên đường tròn theo chiều âm từ A đến B tạo nên cung \(\frac{3}{4}\) đường tròn nên có số đo là \( - \frac{{3\pi }}{2}\).

Lời giải chi tiết:

a) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2}\).

b) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2}\).

c) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2.2\pi = \frac{{9\pi }}{2}\).

d) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \( - \frac{{3\pi }}{2}\).

Tính số đo của mỗi góc lượng giác (OA, OB) trong Hình 1.1.

Phương pháp giải:

Theo lý thuyết, số đo của góc lượng giác (OA, OB)là số đo cung lượng giác (A đến B). Kí hiệu: sđ(OA, OB).

Lời giải chi tiết:

a) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2}\). Vậy sđ(OA, OB) =\(\frac{\pi }{2}\).

b) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2}\). Vậy sđ(OA,OB) = \(\frac{{5\pi }}{2}\).

c) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2.2\pi = \frac{{9\pi }}{2}\). Vậy sđ(OA,OB) = \(\frac{{9\pi }}{2}\).

d) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \( - \frac{{3\pi }}{2}\). Vậy sđ(OA,OB) = \( - \frac{{3\pi }}{2}\).

Giả sử sđ(OA, OB) = \(\frac{\pi }{3}\) và sđ(OB, OC) = \(\frac{\pi }{4}\)(Hình 1.11). Xác định sđ(OA, OC).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Chasles: sđ(OA, OB) + sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức Chasles: sđ(OA, OB) + sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Nếu góc lượng giác (OA, OB) và (OA, OC) lần lượt có số đo là \( - \frac{{7\pi }}{4}\) và \(\frac{{13\pi }}{4}\) thì góc lượng giác (OB, OC) có số đo bằng bao nhiêu, biết rằng \(4\pi < \left( {OB,OC} \right) < 6\pi \)?

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả của hệ thức Chasles: sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) - sđ(OA, OB) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức: sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) - sđ(OA, OB) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{{7\pi }}{4} - \frac{{13\pi }}{4} + k2\pi = - 5\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Mà \(4\pi < \left( {OB,OC} \right) < 6\pi \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\pi < - 5\pi + k2\pi < 6\pi \\ \Leftrightarrow 9\pi < k2\pi < 11\pi \\ \Leftrightarrow 4,5 < k < 5,5\\ \Rightarrow k = 5\end{array}\)

Vậy sđ(OB, OC) = \( - 5\pi + 5.2\pi = 5\pi \)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1 và tìm giao điểm của nó với các trục tọa độ.

Phương pháp giải:

Vẽ hình và quan sát

Lời giải chi tiết:

Đường tròn tâm O cắt trục Ox tại điểm A(1;0) và B(-1;0), cắt Oy tại điểm C(0;-1) và D(0;1).

Trên đường tròn lượng giác, tìm điểm biểu diễn của các góc lượng giác có số đo sau:

a) \(\frac{{19\pi }}{3}\)

b) \( - {1125^0}\)

Phương pháp giải:

- Đường tròn lượng giác có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, lấy điểm A(1;0) là gốc của đường tròn.

- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha \) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OM) = \(\alpha \).

Lời giải chi tiết:

a) \(\frac{{19\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{4} + 4\pi \)

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\frac{{19\pi }}{3}\) là điểm C(0;-1).

b) \( - {1125^0} = - {45^0} - {3.360^0}\)

Vậy điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \( - {1125^0}\) là điểm chính giữa B của cung nhỏ .