Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Logarit - một phần quan trọng trong chương trình SGK Toán 11. Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp tài liệu học tập đầy đủ, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức cơ bản và nâng cao về Logarit.
Bài học này sẽ đi sâu vào định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải quyết chúng.
A. Lý thuyết 1. Khái niệm logarit a) Định nghĩa
A. Lý thuyết
1. Khái niệm logarit
a) Định nghĩa
Cho hai số thực dương a, b và a khác 1. Số thực \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu \({\log _a}b\), nghĩa là \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\). |
Lưu ý:
- Không tồn tại logarit của số âm và số 0.
- Logarit cơ số 10 của một số dương b là logarit thập phân của b, ký hiệu logb hay lgb.
- Logarit cơ số e của một số dương b là logarit tự nhiên (hay logarit Nê-pe) của b, ký hiệu lnb.
b) Tính chất
Cho a là một số dương khác 1, b là một số dương và số thực \(\alpha \). +) \({\log _a}1 = 0\) +) \({\log _a}a = 1\) +) \({a^{{{\log }_a}b}} = b\) +) \({\log _a}({a^\alpha }) = \alpha \) |
2. Quy tắc tính logarit
a) Logarit của một tích và logarit của một thương
Cho ba số dương a, \({b_1}\), \({b_2}\) và \(a \ne 1\). Khi đó: +) \({\log _a}({b_1}{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\) +) \({\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\) |
Lưu ý: \({\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b\).
b) Logarit của một lũy thừa
Cho hai số dương a, b với \(a \ne 1\). Với mọi \(\alpha \), ta có: \({\log _\alpha }{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\). |
Lưu ý : \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\) \((n \in \mathbb{N},n \ge 2)\).
c) Đổi cơ số
Cho ba số thực dương a, b, c với \(a \ne 1\). Khi đó: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\) hay \({\log _c}b = {\log _c}a{\log _a}b\). |
Lưu ý:
- Với a, b là hai số thực dương khác 1, ta có \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) hay \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\).
- Với a là một số dương khác 1, b là số thực dương và \(\alpha \ne 0\), ta có \({\log _{{a^\alpha }}} = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\).
3. Một số ứng dụng trong thực tế
a) Độ mạnh của động đất
\(R = \log \frac{A}{{{A_0}}}\) (độ Richter).
b) Độ pH trong hóa học
\(pH = - \log [{H^ + }]\).
B. Bài tập
Bài 1: Tính:
a) \({\log _2}8\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4\).
c) \({\log _3}\frac{1}{{27}}\).
Giải:
a) \({\log _2}8 = 3\) vì \({2^3} = 8\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4 = - 2\) vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4\).
c) \({\log _3}\frac{1}{{27}} = - 3\) vì \({3^{ - 3}} = \frac{1}{{27}}\).
Bài 2: Tính:
a) \({3^{2{{\log }_3}5}}\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} \).
Giải:
a) \({3^{2{{\log }_3}5}} = {({3^{{{\log }_3}5}})^2} = {5^2} = 25\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}\).
Bài 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính các giá trị biểu thức sau:
a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12\).
b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147\).
Giải:
a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12 = {\log _6}(3.12) = {\log _6}(36) = 2\).
b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147 = {\log _7}\frac{{21}}{{147}} = {\log _7}\frac{1}{7} = {\log _7}{7^{ - 1}} = - 1\).
Bài 4: Cho \(a = {\log _3}x\); \(b = {\log _3}y\); \(c = {\log _3}z\). Tính \({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right)\) theo a, b, c.
Giải:
\({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right) = {\log _3}\sqrt[3]{x} - ({\log _3}{y^2} + {\log _3}{z^4}) = \frac{1}{3}{\log _3}x - (2{\log _3}y + 4{\log _3}z) = \frac{1}{3}a - 2b - 4c\).
Bài 5:
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3)\).
b) Cho \(\alpha = {\log _3}45\). Tính \({\log _{45}}5\) theo a.
Giải:
a) \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}(2{\log _3}2.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}2 = {\log _{{2^{ - 2}}}}2 = - \frac{1}{2}\).
b) Ta có \(\alpha = {\log _3}45 = {\log _3}({3^2}.5) = 2{\log _3}3 + {\log _3}5 = 2 + {\log _3}5\).
Suy ra \({\log _3}5 = \alpha - 2\). Vậy \({\log _{45}}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}45}} = \frac{{\alpha - 2}}{\alpha }\).
Logarit là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán 11. Nó là công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến lũy thừa và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Logarit của một số dương b theo cơ số a (với a > 0 và a ≠ 1) là số x sao cho ax = b. Ký hiệu: logab = x.
Việc nắm vững các tính chất của logarit là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan. Dưới đây là một số tính chất cơ bản:
Trong chương trình SGK Toán 11, các bài tập về logarit thường xoay quanh các chủ đề sau:
Để giải phương trình và bất phương trình logarit, bạn cần thực hiện các bước sau:
Ví dụ 1: Tính log28.
Giải: log28 = 3 vì 23 = 8.
Ví dụ 2: Giải phương trình log3(x + 2) = 2.
Giải:
Vậy nghiệm của phương trình là x = 7.
Để nắm vững kiến thức về lý thuyết logarit, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập trong SGK Toán 11 và các tài liệu tham khảo khác. toan11.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng, từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Logarit có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết logarit. Chúc bạn học tập tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
