Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các vấn đề thực tế.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
a. Tính
Tính \(\sin {\pi \over 8}\,\text{ và }\,\cos {\pi \over 8}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {\sin ^2}{\pi \over 8} = {{1 - \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \sin {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } \cr & {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \)
Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức
\(\sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \) \(= C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & {1^2} + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 .\,\text{ Do đó}\,: \cr & \sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \cr & = \left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left( {{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left( {\sin x\cos {\pi \over 8} + \sin {\pi \over 8}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left( {x + {\pi \over 8}} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right) \cr & \text{ Vì }\,{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} \cr &= {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } = \cos {\pi \over 8}. \cr & \text{và }\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{8}} \right) \cr &= \cos \left( {\frac{{3\pi }}{8} - x} \right) = \cos \left( {x - \frac{{3\pi }}{8}} \right) \cr & \text{Vậy }\,C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cr} \)
Bài tập Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xét tính đơn điệu của hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cùng xem lại đề bài của Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2)
Yêu cầu: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính đạo hàm
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2 là các điểm tới hạn.
Bước 3: Lập bảng biến thiên
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Kết luận:
Để củng cố kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số, học sinh có thể thực hành với các bài tập tương tự. Ví dụ:
Khi giải các bài tập về tính đơn điệu, học sinh cần lưu ý:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải quyết Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao và các bài tập tương tự. toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
