Câu 18 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right)\)

Hướng dẫn : Nhân và chia biểu thức đã cho với \(\sqrt {{n^2} + n + 1} + n\)

Phương pháp giải:

Nhân và chia biểu thức đã cho với \(\sqrt {{n^2} + n + 1} + n\).

Chú ý hằng đẳng thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) \cr &= \lim {{\left( {{n^2} + n + 1} \right) - {n^2}} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr & = \lim {{n + 1} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr &= \lim {{n\left( {1 + {1 \over n}} \right)} \over {n\left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \right)}} \cr & = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)

\(\lim {1 \over {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}\)

Hướng dẫn : Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với \(\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \)

Phương pháp giải:

Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với \(\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \lim {1 \over {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }} \cr &= \lim {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {n + 2 - n - 1}} \cr & = \lim \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right) \cr & = \lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + \sqrt {1 + \frac{1}{n}} } \right)} \right]\cr &= + \infty \cr} \)

Vì \(\lim \sqrt n = + \infty \) và \(\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + \sqrt {1 + \frac{1}{n}} } \right) = 2 > 0\)

\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right)\)

Phương pháp giải:

Đặt lũy thừa bậc cao nhất của n ra làm nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \lim \sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} \cr &= \lim\,n \left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right) = + \infty \cr & \text{ vì}\;\lim n = + \infty \cr &\text{ và}\;\lim \left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right) = 1 > 0 \cr} \)

 \(\lim {1 \over {\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }}\)

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \lim {1 \over {\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }} \cr &= \lim {{\sqrt {3n + 2} + \sqrt {2n + 1} } \over {3n + 2 - 2n - 1}} \cr & = \lim {{\sqrt {3n + 2} + \sqrt {2n + 1} } \over {n + 1}} \cr &= \lim {{n\left( {\sqrt {{3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} + \sqrt {{2 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} \cr & = \lim {{\sqrt {{3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} + \sqrt {{2 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \over {1 + {1 \over n}}} \cr &= \frac{{0 + 0}}{1}= 0 \cr} \)

\(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)n\)

Phương pháp giải:

Nhân và chia biểu thức với \({\sqrt {n + 1} + \sqrt n }\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right).n \cr & = \lim \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right).n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\cr &= \lim \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}.n \cr &= \lim \frac{n}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\cr &= \lim \sqrt n .{{\sqrt n } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr &= \lim \sqrt n .{1 \over {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1}} = + \infty \cr & \text{ vì}\;\lim \sqrt n = + \infty \cr &\text{và}\;\lim {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1}} = {1 \over 2} > 0 \cr} \)

\(\lim {{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} } \over {3n + 2}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho n.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{& \lim {{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} } \over {3n + 2}} \cr &= \lim {{n\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right)} \over {n\left( {3 + {2 \over n}} \right)}} \cr & = \lim {{\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \over {3 + {2 \over n}}} \cr & = \frac{{1 - 0}}{{3 + 0}}= {1 \over 3}. \cr} \)