Câu 10 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 10 Trang 13 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải

Bài tập Câu 10 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh việc xác định mối quan hệ giữa các vectơ trong không gian, tính toán độ dài vectơ, tích vô hướng và ứng dụng chúng để chứng minh các tính chất hình học.

I. Đề Bài Câu 10 Trang 13 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét lại đề bài chính xác của Câu 10 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao. (Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)).

II. Phương Pháp Giải Bài Tập Vectơ trong Không Gian

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức và kỹ năng sau:

• Hệ tọa độ trong không gian: Chọn một hệ tọa độ thích hợp để biểu diễn các điểm và vectơ trong không gian.
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng SC.
• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin(θ) = |(a.n)| / (||a|| * ||n||), trong đó a là vectơ chỉ phương của đường thẳng, n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, và θ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

III. Lời Giải Chi Tiết Câu 10 Trang 13 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Bước 1: Chọn hệ tọa độ

Chọn A làm gốc tọa độ, AB làm trục Ox, AD làm trục Oy, và AS làm trục Oz. Khi đó, ta có:

• A(0; 0; 0)
• B(a; 0; 0)
• C(a; a; 0)
• D(0; a; 0)
• S(0; 0; a)

Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của SC

Vectơ SC = (a - 0; a - 0; 0 - a) = (a; a; -a)

Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD)

Mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng Oxy, do đó vectơ pháp tuyến của (ABCD) là k = (0; 0; 1)

Bước 4: Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)

sin(θ) = |SC.k| / (||SC|| * ||k||)

SC.k = (a; a; -a).(0; 0; 1) = -a

||SC|| = √(a² + a² + (-a)²) = √(3a²)= a√3

||k|| = 1

sin(θ) = |-a| / (a√3 * 1) = 1/√3

θ = arcsin(1/√3) ≈ 35.26°

Kết luận: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là khoảng 35.26°.

IV. Các Dạng Bài Tập Tương Tự và Mở Rộng

Ngoài bài tập Câu 10 trang 13, SGK Hình học 11 Nâng cao còn có nhiều bài tập tương tự liên quan đến vectơ trong không gian. Các bài tập này thường yêu cầu:

• Chứng minh các đẳng thức vectơ.
• Tìm mối quan hệ giữa các vectơ.
• Tính độ dài vectơ, tích vô hướng, tích có hướng.
• Ứng dụng vectơ để giải quyết các bài toán hình học.

V. Luyện Tập Thêm

Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập vectơ trong không gian, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập sau:

1. Bài tập 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; 3) và b = (4; 5; 6). Tính tích vô hướng của a và b.
2. Bài tập 2: Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(4; 5; 6), và C(7; 8; 9). Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng.
3. Bài tập 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính độ dài cạnh A'C.

VI. Tổng Kết

Câu 10 trang 13 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập điển hình để rèn luyện kỹ năng sử dụng vectơ trong không gian. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, hệ tọa độ, và các phép toán vectơ sẽ giúp bạn giải quyết bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao khả năng giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn.