Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về hàm số, đạo hàm, hoặc các chủ đề khác đã được học để giải quyết.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
a. Cho hàm số
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\tan x} \right)' = 1 + {\tan ^2}x\)
Lời giải chi tiết:
f’(x) = 1 + tan2x
f’’(x) = 2tanx(1 + tan2x) = 2tanx + 2tan3x
f(3)(x) = 2(1 + tan2x) + 2.3tan2x(1 + tan2x)
= 2+ 2tan2x + 6tan2x+ 6tan4x
= 2+ 8tan2x+ 6tan4x
Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
\({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4n - 1}}\cos 2x\) (1)
Với n = 1 ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\sin x\cos x= \sin 2x\\f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x = - {2^{4.1 - 1}}\cos 2x\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)
Với n = k + 1 ta có :
\(\begin{array}{l}{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x \\= - {2^{4\left( {k + 1} \right) - 1}}\cos 2x\end{array}\)
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.
Câu 47 trang 219 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường là một bài toán ứng dụng thực tế hoặc một bài toán tổng hợp kiến thức từ các chương trước. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và kỹ năng giải toán liên quan.
(Giả sử đề bài là: Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm bậc nhất:
y = x^3 - 3x^2 + 2
y' = 3x^2 - 6x
2. Tìm các điểm mà y' = 0:3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
3. Lập bảng biến thiên:| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán về hàm số và đạo hàm. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
