Câu 21 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Chi Tiết Câu 21 Trang 114 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 21 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị, và tính đơn điệu của hàm số.

Phân Tích Đề Bài

Trước khi đi vào giải chi tiết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Thông thường, các bài tập dạng này sẽ yêu cầu học sinh:

• Xác định tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
• Tìm các điểm cực trị của hàm số.
• Khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
• Vẽ đồ thị hàm số.

Lời Giải Chi Tiết

Giả sử đề bài yêu cầu khảo sát hàm số y = f(x) = x³ - 3x² + 2.

Bước 1: Xác Định Tập Xác Định

Hàm số y = x³ - 3x² + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Bước 2: Tính Đạo Hàm

Đạo hàm bậc nhất của hàm số là: y' = f'(x) = 3x² - 6x.

Đạo hàm bậc hai của hàm số là: y'' = f''(x) = 6x - 6.

Bước 3: Tìm Điểm Cực Trị

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:

3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Xét dấu y' trên các khoảng xác định:

• Khi x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến.
• Khi 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến.
• Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến.

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = -2.

Bước 4: Khảo Sát Tính Đơn Điệu

Dựa vào bảng xét dấu y', ta có thể kết luận:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Bước 5: Tìm Điểm Uốn

Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình y'' = 0:

6x - 6 = 0 ⇔ x = 1.

Xét dấu y'' trên các khoảng xác định:

• Khi x < 1, y'' < 0, hàm số lõm xuống.
• Khi x > 1, y'' > 0, hàm số lồi lên.

Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1, giá trị y(1) = 0.

Kết Luận

Thông qua quá trình khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2, chúng ta đã xác định được các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, và điểm uốn của hàm số. Những thông tin này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hình dạng và tính chất của đồ thị hàm số.

Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

Khi giải các bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần:

• Nắm vững các định nghĩa và tính chất của đạo hàm.
• Thực hành giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
• Kiểm tra lại kết quả sau khi giải để đảm bảo tính chính xác.

Ứng Dụng Của Khảo Sát Hàm Số

Khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu hóa.
• Phân tích các hiện tượng kinh tế, xã hội.

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải Câu 21 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc các bạn học tập tốt!