Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao. Bài tập này thuộc chương trình học Hình học 11 Nâng cao, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải toán về vectơ và ứng dụng trong hình học.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, phương pháp giải khoa học và đáp án chính xác, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:
a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ
b. G1 là trọng tâm của tam giác A1B1C1
c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)
\({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)
Lời giải chi tiết
a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’
Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’
Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành
Do đó, GG’ song song và bằng AA’
b. B1C1 cắt II’ tại I1 thì I1 là trung điểm của B1C1
Vì G1 thuộc A1I1 và AA1 // GG1 // II1 nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)
Vậy G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1
c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L1 là giao điểm của LL’ và A1I1
Khi đó L1 là trung điểm của A1G1
Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :
\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'\end{array}\)
Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)
Mặt khác: 2I1I’ = B1B’ + C1C’
Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)
Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)
Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến vectơ, đặc biệt là các bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, tìm điểm thỏa mãn điều kiện vectơ, hoặc tính toán liên quan đến tích vô hướng của vectơ. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để cung cấp một lời giải cụ thể, chúng ta cần biết nội dung chính xác của Câu 5 trang 78. Tuy nhiên, dựa trên kinh nghiệm giảng dạy và phân tích các đề thi, chúng ta có thể đưa ra một số hướng giải quyết phổ biến:
Nếu bài toán yêu cầu chứng minh đẳng thức vectơ, học sinh cần sử dụng các tính chất của vectơ như tính giao hoán, tính kết hợp, tính chất phân phối, và các quy tắc biến đổi vectơ. Ví dụ, để chứng minh AB = CD, ta có thể chứng minh AB = AD + DB và CD = CB + BD, sau đó chứng minh AD + DB = CB + BD.
Nếu bài toán liên quan đến góc giữa hai vectơ hoặc kiểm tra tính vuông góc, học sinh cần sử dụng công thức tính tích vô hướng: a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ a và b. Nếu a.b = 0, thì hai vectơ a và b vuông góc.
Nếu bài toán cho trước tọa độ của các điểm, học sinh có thể sử dụng hệ tọa độ để biểu diễn các vectơ và thực hiện các phép toán vectơ một cách dễ dàng. Ví dụ, nếu A(xA, yA) và B(xB, yB), thì AB = (xB - xA, yB - yA).
Giả sử Câu 5 trang 78 yêu cầu chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành. Ta có thể sử dụng các bước sau:
Khi giải các bài toán về vectơ, học sinh cần chú ý:
Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán về vectơ. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản, sử dụng các phương pháp giải phù hợp và luyện tập thường xuyên, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự một cách hiệu quả. toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
