Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng dãy số \(\displaystyle (u_n)\) với \(\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).
- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m,M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr } \)
\(\begin{array}{l}u_{n+1}-u_n\\= \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\ = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = - \frac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm
Ta lại có:
+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)
+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)
Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)
Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right) - \left( {2n + 3} \right)\left( {3n + 5} \right)}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
Do đó \( (u_n)\) là dãy số giảm.
Câu 14 trang 106 trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số. Đạo hàm đóng vai trò then chốt trong việc xác định tính đơn điệu, cực trị của hàm số, và là nền tảng cho nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác.
(Đề bài cụ thể sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm f'(x) và xác định các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Bước 1: Tính đạo hàm f'(x)
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm làm f'(x) = 0Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được:
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Xét dấu đạo hàm f'(x) để xác định tính đơn điệu của hàm sốTa lập bảng xét dấu:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
Tại x = 2, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập sau:
Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập điển hình để rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Việc nắm vững các kiến thức và phương pháp giải quyết bài toán này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài kiểm tra.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
