Câu 39 trang 85 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải Chi Tiết Câu 39 Trang 85 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao

Câu 39 trang 85 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán thuộc chương trình học về đạo hàm của hàm số. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số.

Nội Dung Bài Toán

Bài toán thường yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của một hàm số cho trước, sau đó xác định các điểm cực trị của hàm số đó. Việc tìm đạo hàm đòi hỏi học sinh phải áp dụng chính xác các quy tắc tính đạo hàm, bao gồm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp.

Phương Pháp Giải

1. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
2. Bước 2: Tìm các điểm cực trị. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các giá trị x mà tại đó đạo hàm bằng 0. Các giá trị này là các điểm cực trị của hàm số.
3. Bước 3: Xác định loại cực trị. Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định loại cực trị tại mỗi điểm cực trị. Nếu f''(x) > 0 thì điểm đó là điểm cực tiểu, nếu f''(x) < 0 thì điểm đó là điểm cực đại.
4. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Thay các giá trị x tìm được ở bước 2 vào hàm số f(x) để tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.

Ví Dụ Minh Họa

Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta sẽ giải bài toán tìm cực trị của hàm số này theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm

f'(x) = 3x² - 6x

Bước 2: Tìm các điểm cực trị

Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:

3x² - 6x = 0

3x(x - 2) = 0

Vậy x = 0 hoặc x = 2

Bước 3: Xác định loại cực trị

Tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = 6x - 6

Tại x = 0, f''(0) = -6 < 0, vậy x = 0 là điểm cực đại.

Tại x = 2, f''(2) = 6 > 0, vậy x = 2 là điểm cực tiểu.

Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị

f(0) = 0³ - 3(0)² + 2 = 2

f(2) = 2³ - 3(2)² + 2 = 8 - 12 + 2 = -2

Vậy hàm số f(x) có điểm cực đại tại (0, 2) và điểm cực tiểu tại (2, -2).

Lưu Ý Quan Trọng

• Luôn kiểm tra lại các bước tính đạo hàm để đảm bảo tính chính xác.
• Chú ý đến điều kiện xác định của hàm số.
• Sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định chính xác loại cực trị.

Ứng Dụng Của Bài Toán

Việc giải các bài toán về đạo hàm và cực trị của hàm số có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học và kỹ thuật, như tối ưu hóa, mô hình hóa và dự báo.

Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao hoặc trên các trang web học toán online.

Kết Luận

Câu 39 trang 85 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và tìm cực trị của hàm số. Việc nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.