Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, các phép toán vectơ, và các tính chất hình học để giải quyết. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải là chìa khóa để đạt điểm cao trong các bài kiểm tra.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn hiểu rõ bản chất của bài toán và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.
Đề bài
Cho hai mặt phẳng vuông góc \((P)\) và \((Q)\) có giao tuyến \(Δ\). Lấy \(A, B\) cùng thuộc \(Δ\) và lấy \(C ϵ (P), D ϵ (Q)\) sao cho \(AC ⊥ AB, BD ⊥ AB\) và \(AB = AC = BD\). Xác định thiết diện của tứ diện \(ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(CD\). Tính diện tích thiết diện khi \(AC = AB = BD = a.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Xác định mp \((α)\) và tìm thiết diện
+ Tình diện tích thiết diện.
Lời giải chi tiết
+) Xác định mặt phẳng \((α)\) và thiết diện.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có: \(AI ⊥ BC\) vì \(AC=AB\). (1)
Do \(BD ⊥ AB\) - là giao tuyến chung nên \(BD ⊥ mp(ABC) \Rightarrow BD ⊥ AI.\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AI ⊥ (DBC) \subset DC .\)
Trong \(mp(DCB)\), từ \(I\), kẻ \(IJ ⊥ CD (J ϵ CD)\)
\(\Rightarrow DC ⊥ AI \) và \(DC ⊥ IJ\)
\(\Rightarrow DC ⊥ (AIJ) \)
Vậy \(mp(AIJ)\) chính là mặt phẳng \((α)\) và thiết diện phải tìm là tam giác \(AIJ\).
+) Tính diện tích tam giác \(AIJ\)
Ta có: tam giác \(AIJ\) vuông tại \(I\) vì \( AI ⊥ (DBC) \subset IJ .\)
Vậy \({S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.AI.IJ\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 a\)
Và \( AI = CI = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)
Lại có: \(\Delta CIJ\) đồng dạng với \(\Delta CDB\) (chung góc \(C\) và \(\hat J = \hat B = 90^0\))
\( \Rightarrow \frac{{IJ}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow IJ = DB.\frac{{CI}}{{CD}}\)
Mà \(DB = a,\;\;CI = \frac{{\sqrt 2 a}}{2};\;\;CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt 3 a\)
\( \Rightarrow IJ = a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\sqrt 3 a = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
\( \Rightarrow {S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao thường xoay quanh các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian, đặc biệt là các bài toán chứng minh đẳng thức vectơ, tính độ dài vectơ, và xác định vị trí tương đối giữa các điểm. Để giải quyết hiệu quả bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, bao gồm:
Để cung cấp một lời giải cụ thể, chúng ta cần biết nội dung chính xác của câu 25. Tuy nhiên, dưới đây là một ví dụ về cách tiếp cận giải một bài toán vectơ thường gặp trong SGK Hình học 11 Nâng cao:
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng: overrightarrow{AM} = 1/2overrightarrow{AB}.
Lời giải:
Vì M là trung điểm của AB, theo định nghĩa trung điểm, ta có: overrightarrow{AM} =overrightarrow{MB}. Mà overrightarrow{AB} =overrightarrow{AM} +overrightarrow{MB}. Do đó, overrightarrow{AM} =overrightarrow{MB} = 1/2overrightarrow{AB}.
Ngoài dạng bài chứng minh đẳng thức vectơ như ví dụ trên, Câu 25 trang 112 và các bài tập lân cận thường xuất hiện các dạng bài sau:
Phương pháp giải:
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về vectơ, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. toan11.edu.vn sẽ tiếp tục cập nhật thêm nhiều bài giải chi tiết và các bài tập luyện tập để giúp bạn học tốt môn Hình học 11 Nâng cao.
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ vào giải quyết các bài toán hình học không gian. Việc nắm vững lý thuyết, phương pháp giải và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin đối mặt với các bài toán tương tự trong các kỳ thi.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
