Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết các vấn đề liên quan đến quan hệ vị trí và tính chất của chúng.
toan11.edu.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập.
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.
Đề bài
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.
a. Tính độ dài AD.
b. Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\).
a) Tính độ dài bằng cách sử dụng định lý Py-ta-go.
b) Xác định điểm cách đều bằng tính chất tam giác vuông.
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khác \({90^0}\)) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: CD ⊥ BC và CD ⊥ AB nên CD ⊥ (ABC)
mà AC ⊂ (ABC) do đó CD ⊥ AC.
Trong tam giác vuông ABC ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {a^2} + {b^2}\)
Trong tam giác vuông ACD ta có:
\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
Suy ra: \(AD = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
b. Ta có: \(AB \bot BC\) và \(AB \bot CD\) suy ra AB ⊥ (BCD) do đó AB ⊥ BD.
Gọi I là trung điểm AD ta có:
+) Tam giác ACD vuông tại C có CI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: \(IA = IC = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 1 \right)\)
+) Tam giác ABD vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên: \[IA = IB = ID = \frac{{AD}}{2}\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) suy ra: IA = IB = IC = ID
Vây I cách đều A, B, C, D.
c. Ta có: \(AB \bot \left( {BCD} \right)\) \( \Rightarrow BD\) là hình chiếu của \(AD\) trên \(\left( {BCD} \right)\).
Khi đó góc \(\widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,BD} \right)} = \widehat {ADB}\).
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(B\) thì \(\sin \widehat {ADB} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {BCD} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Lại có \(DC \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(AD\) trên \(\left( {ABC} \right)\).
Khi đó góc \(\widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,AC} \right)} = \widehat {DAC}\)
Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) thì \(\sin \widehat {DAC} = \dfrac{{CD}}{{AD}} = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\) \( \Rightarrow \widehat {\left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right)} = \arcsin \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng các kiến thức về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng để chứng minh các mối quan hệ hình học. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các định lý liên quan.
Trước khi bắt đầu giải, hãy đọc kỹ đề bài và xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu của bài toán. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về một hình không gian và yêu cầu chứng minh một mối quan hệ nào đó giữa các yếu tố trong hình.
Có nhiều phương pháp giải bài tập về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng. Một số phương pháp thường được sử dụng bao gồm:
(Nội dung lời giải chi tiết của Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ được trình bày tại đây. Lời giải cần đầy đủ các bước, giải thích rõ ràng và sử dụng các ký hiệu toán học chính xác.)
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ minh họa:
(Ví dụ minh họa về một bài tập tương tự Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao, kèm theo lời giải chi tiết.)
Để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng, học sinh có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức và kỹ năng về vectơ, đường thẳng và mặt phẳng. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, các định lý liên quan và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, học sinh có thể giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| Tích vô hướng: | a.b = |a||b|cos(θ) |
| Tích có hướng: | [a, b] = |a||b|sin(θ)n |
| Phương trình mặt phẳng: | Ax + By + Cz + D = 0 |
Hy vọng rằng lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trên sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn về Câu 16 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao và tự tin giải các bài tập tương tự.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
